% chebyshev.tex
\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
以下の不等式がシェビシェフの不等式である。
\begin{eqnarray*}
P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq 1/k^2
\end{eqnarray*}
証明は、$I = { x : |x - \mu| \geq k \sigma}$とおいて、
\begin{eqnarray*}
\sigma ^2 & = & \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x) dx \\
& \geq & \int_{I} (x - \mu)^2 f(x) dx \\
& \geq & (k \sigma )^ 2 \int_{I} f(x) dx \\
& = & (k \sigma )^ 2 \cdot P(|X - \mu| \geq k \sigma) \\
\end{eqnarray*}
両辺を$ (k \sigma)^2$で割ると
\begin{eqnarray*}
P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq 1/k^2
\end{eqnarray*}
\\
【参考文献】 \\
東京大学教養部統計学教室（1991) 『統計学入門』 東京大学出版 105pp.
