母分散の判明している正規分布からのサンンプルを用いた母平均の区間推定

###############数式のソースファイル#################
% interval.tex
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\begin{document}
区間推定は、真のパラーメーター(母数):$\theta$が、ある区間$(L,U)$に入る確率を$1 - \alpha$以上に保証する方法である。すなわち、
\begin{eqnarray*}
P(L \leq \theta \leq U) \geq 1 - \alpha
\end{eqnarray*}
となる確率変数$L, U$をサンプルの関数として求めるものである。$L$を下側信頼下界 lower confidence limit, $U$を上側信頼下界 upper confidence limitと呼ぶ。
また、$1 - \alpha$のことを信頼係数と呼び、通常は0.95、0.99に設定されることが多い。区間$[L, U]$を$100(1- \alpha)\%$区間と呼ぶ。
信頼区間を求めるには、$\bar \theta$の標本分布から求める。\\ \\
【例】母集団分布が平均$\mu$、分散$\sigma^2$(既知)の正規分布$N(\mu, \sigma^2)$を仮定できるとする。いま、母集団からサンプルサイズ$n$の標本をとったとき、$\mu$の信頼区間を信頼係数$1 -\alpha$で推定する。 \\ \\
条件の下で、標本平均は$\bar X$の母集団は正規分布$(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に従う。
これを標準化すると、
\begin{eqnarray*}
Z = \frac{\bar X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} 
\end{eqnarray*}
となる。$Z$はz分布、すなわち標準正規分布$N(1,0)$に従う。このため、
\begin{eqnarray*}
P(- Z_{\alpha /2} \leq \frac{\bar X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}  \leq Z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha
\end{eqnarray*}
括弧内の不等式を$\mu$について解くと
\begin{eqnarray*}
P(\bar X - Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}} \leq \mu  \leq \bar X + Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}}) = 1 - \alpha
\end{eqnarray*}
よって、$\mu$の信頼係数$1 - \alpha$の信頼区間は
\begin{eqnarray*}
[\bar X - Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}}, \bar X + Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}}]
\end{eqnarray*}
である。\\
【参考文献】\\
東京大学教養部統計学教室(1991) 『統計学入門』 東京大学出版 226,227pp.\\
松原望(2007)『入門 統計解析 医学・自然科学編』東京図書 178,179pp.\\
\pagestyle{empty}
\end{document}